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Der Jurist übernahm das Amt von Cornelia Rogall-Grothe, die zum 31. Juli in den Ruhestand trat. Rogall-Grothe war seit dem Jahr 2010 Staatssekretärin im Bundesministerium des Innern und Beauftragte der Bundesregierung für Informationstechnik.
Engelke ist bereits seit 1999 im Bundesministerium des Innern beschäftigt. Dort war er zunächst Referent, bevor er 2003 zum Referatsleiter bestellt wurde. Von 2006 bis 2010 leitete er die Abteilung „Terrorismus/Islamismus“ im Bundesamt für Verfassungsschutz. Nach seiner Rückkehr ins BMI übte er weitere Leitungsfunktionen im Bereich der Bundespolizei und der Terrorismusbekämpfung aus, bevor er 2014 den Leitungsstab des BMI übernahm. Diesen führte er bis zu seiner Ernennung als Staatssekretär.